Введение в мир Фибоначчи

ИСТОРИЧЕСКИЕ И�МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ЗАКОНА ВОЛН

Последовательность чисел Фибоначчи была открыта (на�самом деле, повторно) Леонардо Фибоначчи де�Пиза, математиком тринадцатого века (в�России известен как Леонардо Пизанский*). Мы�обрисуем исторические предпосылки этого удивительного человека и�затем более полно обсудим последовательность (формально, это действительно последовательность, а�не�ряд) чисел, которая носит его имя. Когда Эллиотт писал Закон Природы, он�в�частности ссылался на�последовательность Фибоначчи, как математическую основу Закона волн. Здесь достаточно сказать, что фондовый рынок имеет склонность демонстрировать очертание, которое можно сравнить с�фигурой, присутствующей в�последовательности Фибоначчи. {Для дальнейшего обсуждения такой математики вне рамок Закона волн см.��Mathematical Basis of�Wave Theory� (�Математическая основа волновой теории�) Уолтера Уайта (Walter E.�White).}

В начале 1200х, Леонардо Фибоначчи из�Пизы, Италия, опубликовал свою знаменитую Liber Abacci {Книга абака (Книга вычислений); абак(а)�— счеты*}, которая представила Европе одно из�величайших открытий всех времен, а�именно десятичную систему счисления, включающую положение нуля в�качестве первой цифры в�записи числового ряда. Эта система, которая включала привычные символы 0,�1,�2,�3, 4,�5,�6,�7, 8�и�9,�стала известной как Индусско-Арабская система и�сейчас используется повсеместно.

С истинной числовой или зависимой от�положения цифр системой, подлинное значение, представленное любым символом, помещенным в�ряд с�другими символами, зависит не�только от�его основного цифрового значения, но�также и�от�его положения в�этом ряду, т. е. 58�имеет отличное от�85�значение. Хотя тысячами лет ранее Вавилонцы и�Майя из�Центральной Америки независимо друг от�друга изобрели числовую или зависимую от�положения цифр систему счисления, их�методы были неудобными в�других отношениях. По�этой причине Вавилонская система, которая первая использовала нуль и�положение цифр, не�вошла ни�в�греческую, ни�даже в�римскую системы, чьи нумерации заключали в�себе семь символов I,�V,�X,�L, C,�D�и�M с�нецифровыми (но�числовыми*) значениями присвоенными этим символам. Сложение, вычитание, умножение и�деление в�системе, использующей эти нецифровые символы, является нелегкой задачей, когда используются большие числа. Пародоксально, но�чтобы решить эту проблему римляне использовали очень древний вычислительный прибор, известный как счеты. Так как этот прибор основан на�цифрах и�содержит в�себе нулевой принцип, он�действовал в�качестве необходимого дополнения к�римской вычислительной системе. В�течение веков счетоводы и�купцы зависили от�помощи счет в�механике их�задач. Фибоначчи, после выражения основного принципа счет в�Книге абака, начал использовать свою новую систему во�время своих путешествий. Посредством его усилий новая система с�ее�простым способом вычисления, в�конце концов, была передана Европе. Постепенно старое использование римских цифр было заменено арабской цифровой системой. Введение новой системы в�Европу было первым важным достижением в�области математики с�момента падения Рима более семи веков назад. Фибоначчи не�только сохранил математику в�Средневековье, но�и�заложил основу длительной эволюции в�области высшей математики и�связанных областях физики, астрономии и�машиностроения. Хотя мир позже почти потерял Фибоначчи из�вида, он,�несомненно, был человеком своего времени. Его известность была таковой, что Фредерик II,�естествоиспытатель и�ученый по�праву, разыскал его, организовав поездку в�Пизу. Фредерик II�был Императором Священного Рима, Королем Сицилии и�Иерусалима, потомком двух самых знатных семей в�Европе и�Сицилии и�наиболее могущественным правителем своего времени. Его стремлением была абсолютная монархия, и�он�окружал себя со�всей помпой Римского императора.

Встреча между Фибоначчи и�Фредериком II�произошла в�1225�году и�была событием большой важности для города Пизы. Император ехал верхом во�главе длинной процессии трубачей, придворных, рыцарей, чиновников и�бродячего зверинца животных. Некоторые проблемы, которые Император поставил перед знаменитым математиком, подробно изложены в�Книге абака. Фибоначчи, очевидно, решил проблемы, поставленные Императором, и�навсегда стал желанным гостем при Королевском дворе. Когда Фибоначчи перерабатывал Книгу абака в�1228�году, он�посвятил исправленную редакцию Фредерику II.

Будет почти преуменьшением, если сказать, что Леонардо Фибоначчи был величайшим математиком Средневековья. Всего он�написал три значительных математических труда: Книга абака, опубликованная в�1202�году и�переизданная в�1228�году, Практическая геометрия, опубликованная в�1220�году, и�Книга квадратур. Как указано в�документах 1240�года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он�был �рассудительный и�эрудированный человек�, а�не�так давно Жозеф Гиз (Joseph Gies), главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во�все времена �будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из�величайших интеллектуальных первопроходцев мира�. Его работы после долгих лет только сейчас переводятся с�латинского языка на�английский. Для тех, кто интересуется�— книга, названная Ленардо Пизанский и�новая математика Средних веков Жозефа и�Франца Гиз (Joseph and Frances Gies) является прекрасным трактатом по�веку Фибоначчи и�его работам.

Хотя он�и�был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи�— это статуя напротив Пизанской башни через реку Арно и�две улицы, которые носят его имя, одна�— в�Пизе, а�другая�— во�Флоренции. Кажется странным, что так мало посетителей к�179-ти футовой Падающей башне когда-либо слышали о�Фибоначчи или видели его статую. Фибоначчи был современником Бонанна (Bonanna), архитектора Пизанской башни, строительство которой тот начал в�1174�году. Оба они сделали вклад в�мировую историю, но�один, чей вклад намного превосходит другого, почти неизвестен.

Последовательность Фибоначчи

В Книге абака одна из�поставленных проблем дает начало последовательности чисел 1,�1,�2,�3, 5,�8,�13,�21, 34,�55,�89,�144 и�так далее до�бесконечности, известной сегодня как последовательность Фибоначчи. А�проблема такова:

Сколько пар кроликов, помещенных в�загон, может быть произведено за�один год из�одной пары кроликов, если каждая пара производит еще одну пару каждый месяц, начиная со�второго?

В поисках решения, мы�находим, что каждой паре, включая первую, необходим месяц для достижения зрелости, но,�начав воспроизводство, они производят на�свет новую пару каждый месяц. Количество пар остается тем�же в�начале каждого из�двух первых месяцев, то�есть, последовательность�— 1,�1.�Эта первая пара, наконец, удваивает свое количество во�втором месяце, так что в�начале третьего месяца у�нас уже две пары. Из�них старшая пара производит третью пару, так что в�начале четвертого месяца последовательность увеличивается до�1,�1,�2, 3.�Из�этих трех две старшие пары, но�не�младшая, воспроизводятся так, что последовательность увеличивается до�1,�1,�2, 3,�5,�8�и так далее. Рис.�3-1�показывает семейное дерево Кроликов, разрастающееся с�логарифмической прогрессией. Продолжите последовательность в�течение нескольких лет и�количество станет астрономическим. Через 100�месяцев, например, мы�вынуждены будем бороться с�354�224�848 179�261�915�075 парами кроликов. Последовательность Фибоначчи, проистекающая из�кроличьей проблемы, обладает множеством интересных свойств и�показывает почти постоянное соотношение среди своих компонентов.

The Rabbit Family Tree�— Семейное дерево Кроликов
Month�— Месяц
Pairs�— Пары
Подпись�— Через 12�месяцев мистер и�миссис Кролик имели�бы семью из�144�пар.

Сумма любых чисел, расположенных рядом в�последовательности, дает следующее число последовательности, а�именно 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8 и�так далее до�бесконечности.

Золотая пропорция

После первых нескольких чисел в�последовательности, отношение любого числа к�следующему старшему равна примерно 0.618�к�1,�а к�соседнему младшему�— приблизительно 1.618�к�1.�Чем дальше вдоль последовательности, тем ближе отношение приближается к�фи,�которое является иррациональным числом 0.618034.. Соотношение между числами, расположенными через одно в�последовательности, приблизительно равно 0.382, что является инверсией от�2.618�(1:2.618*). Обратитесь к�таблице соотношений всех чисел Фибоначчи от�1�до�144 (рис.�3-2).

Фи является единственным числом, которое после сложения с�1�дает свою�же инверсию: 0.618+1=1:0.618. Такой альянс аддитивных и�мультипликативных свойств порождает следующую последовательность равенств:

0.618²�= 1�— 0.618,
0.618³�= 0.618�— 0.618²,
0.618⁴�= 0.618²�— 0.618³,
0.618⁵�= 0.618³�— 0.618⁴, и�т. д.

или, альтернативно:

1.618²�= 1�+ 1.618,
1.618³�= 1.618�+ 1.618²,
1.618⁴�= 1.618²�+ 1.618³,
1.618⁵�= 1.618³�+ 1.618⁴, и�т. д.

Некоторые формулировки из�взаимосвязанных свойств этих четырех соотношений могут быть представлены следующим образом:

1) 1.618�— 0.618�= 1,
2)�1.618�נ0.618 = 1,
3)�1�— 0.618�= 0.382,
4)�0.618�נ0.618 = 0.382,
5)�2.618�— 1.618�= 1,
6)�2.618�נ0.382 = 1,
7)�2.618�נ0.618 = 1.618,
8)�1.618�נ1.618 = 2.618.

Кроме 1�и�2,�любое число Фибоначчи, умноженное на�4�и�добавленное к�некоторому выбранному числу Фибоначчи, дает еще одно число Фибоначчи:

3�נ4�= 12;�+ 1�= 13,
5�נ4�= 20;�+ 1�= 21,
8�נ4�= 32;�+ 2�= 34,
13�נ4�= 52;�+ 3�= 55,
21�נ4�= 84;�+ 5�= 89,�и�т. д.

Так как развивается новая последовательность, третья последовательность начинается с�тех�же чисел, которые добавлялись к�произведению на�4.�Это соотношение возможно, потому что коэффициент между числами Фибоначчи, отстоящими друг от�друга через две позиции равен 4.236, где 0.236�является и�инверсией этого коэффициента, и�разностью с�числом 4.�Это непрерывное рядообразующее свойство отражается и�в�других соотношениях по�этим�же причинам.

1.618�(или 0.618) известно как Золотая пропорция или Золотое сечение. Его гармония приятна для глаз и�является важным явлением в�музыке, искусстве, архитектуре и�биологии. Вильям Хоффер, написал для декабрьского номера 1975�года журнала Smithsonian Magazine:

�.. пропорция 0.618034�к�1�является математической основой для формы игральных карт и�Пантеона, подсолнухов и�раковин улиток, греческих ваз и�спиральных галактик открытого космоса. Греки многое сделали в�своем искусстве и�архитектуре по�этой пропорции. Они называли это �золотым сечением�.

Абсурдные кролики Фибоначчи всплывают в�самых неожиданных местах. Эти числа, бесспорно, являются частью мистической естественной гармонии, которая приятно осязается, приятно выглядит и�даже приятно звучит. Музыка, например, основана на�8-ми нотной октаве. На�фортепьяно это представлено 8�белыми клавишами и�5�черными�— всего 13.�Не�случайно, что музыкальная гармония, которая, как кажется, приносит уху величайшее удовольствие, является мажорным шестизвучием. Нота Е�(ми*) звучит как соотношение 0.625�к�ноте С�(до*). Всего лишь на�0.006966�больше точного Золотого сечения, соотношения мажорного шестизвучия вызывают приятные колебания в�улитке внутреннего уха�— органа, который как раз имеет форму логарифмической спирали.

Непрерывное нахождение чисел Фибоначчи и�золотой спирали в�природе точно объясняет, почему пропорция 0.618034�к�1�так привлекательна в�искусстве. Человек видит изображение жизни в�искусстве, которое основано на�золотом сечении.

Природа использует Золотое сечение в�своих наиболее сокровенных строительных блоках и�в�наиболее продвинутых образцах, от�таких мелких форм, как атомные структуры, микрокапилляры мозга и�молекулы ДНК до�таких огромных, как планетарные орбиты и�галактики. Оно касается таких разнообразных явлений, как расположение квазикристаллов, планетарных расстояний и�периодов обращения, отражения световых лучей от�стекла, мозг и�нервная система, музыкальная аранжировка и�строение растений и�животных. Наука быстро доказывает, в�природе действительно существует основной закон пропорций. Между прочим, вы�удерживаете предмет двумя из�пяти ваших отростков (две руки, две ноги и�голова*), которые имеют три шарнирно соединенных части (плечо, предплечье и�кисть*), пять отростков на�концах (пальцы*) с�тремя шарнирно соединенными частями (фаланги пальцев*). (Авторы намекают на�волновую последовательность 5-3-5-3.*)